Mechanika a rovnovážna poloha tuhého telesa

Mechanika tuhého telesa

• časť mechaniky, zaoberajúca sa pohyby telesa, ktoré nemožno nahradiť hmotným bodom (nemožno zanedbať jeho rozmery a tvar a musia sa uvažovať otáčavý pohyb telesa)

Reálne teleso je nahradené tuhým telesom, kvôli zanedbanie deformačných síl.

Pohyb tuhého telesa sa vždy skladá z pohybu posuvného (translácia) a pohybu otáčavého (rotácie).

Priamočiary pohyb - všetky body telesa opisujú trajektórie rovnakého tvaru a v danom okamihu majú všetky body telesa rovnakú rýchlosť v. (Vagón idúci po priamej trati) ****

Otáčavý pohyb - v šetky body majú v danom okamihu rovnakú uhlovú rýchlosť w. Najjednoduchšie prípad otáčavého pohybu je otáčanie tuhého telesa okolo nehybnej osi (dvere, kolotoč, brúsny kotúč).

Pohyb zložený z týchto dvoch pohybov koná valiaci sa koleso, rotujúci disk alebo planéty.

moment sily

Ak chceme posúdiť, aký je otáčavý účinok sily na tuhé teleso, musíme zaviesť veličinu moment sily M (vektorová veličina). Závisí od veľkosti sily.

** **

Veľkosť momentu sily sa určí zo vzťahu

M = F × r × sin α (v tab nie je sin alfa, čiže ten platí len pre r kolmé k F)

[M] = N × m (newton meter) → táto jednotka má síce rovnaký rozmer ako práca a energie, ale moment sily je vektorová veličina

a.... uhol, ktorý zviera sila F sa vzdialenosťou r od osi otáčania

Ak je vzdialenosť r kolmá k vektorovej priamke sily F (získame ju, preložíme ak vektor sily priamkou), bude platiť M = F × r. R (predtým d, keby sa to niekde vyskytlo) je potom kolmá vzdialenosť vektorovej priamky sily od osi otáčania a nazýva sa rameno sily.

Naproti tomu prechádza chcete vektorová priamka sily F osou otáčania, sila nemá otáčavý účinok, teleso sa pohybuje posuvne. [ images/img/fy­zika/03/img3.png *] *

Vektor momentu sily leží v osi otáčania, orientácia sa určí pravidlom pravej ruky (pravotočivého skrutky).

Ak teleso nie je upevnené, prechádza os otáčania ťažiskom; v prípade, že je teleso upevnené, prechádza os otáčania bodom, v ktorom je teleso upevnené.

• Ak pôsobí na teleso viac síl, ich celkový otáčavý účinok je určený výsledným momentom síl

Výsledný moment sily M je vektorový súčet momentov jednotlivých síl vzhľadom k danej osi, teda

M = M 1 + M 2 + ... + M n

Všetky momenty síl leží v osi otáčania, ale môžu mať rôzny smer. V osobitnom prípade sa otáčavé účinky síl navzájom rušia. Potom platí Momentová veta:

Podľa momentov síl a momentové vety sa skladajú sily pôsobiace na tuhé teleso. Všetky sily, ktoré pôsobia na teleso, sa skladajú vo výslednicu síl a pre skladanie platí momentová veta.

F = F ₁ + F ₂ + ... + F _n M ₁ + M ₂ + ... + M _n = 0

Skladajú Ak sa dve rovnobežné sily rovnaké orientácie, platia pre ne dve rovnice:

F = F ₁ + F ₂ F 1 × r 1 = F 2 × r 2

Prvá rovnica určí veľkosť výslednica, druhá polohu pôsobisko.

Najznámejší príkladom pre skladanie síl podľa momentovej vety je páka. Páka môže byť dvojzvratné alebo jednozvratné.

Na dvojzvratné páku pôsobí na jednej strane od osi otáčania ťarcha bremena a na druhej pôsobíme silou. Aby sme bremeno zdvihli, musí byť moment vyvolaný našou silou väčšia než moment vyvolaný tiažou bremena.

U jednozvratné páky je bremeno aj pôsobiaca sila na rovnakej strane od osi otáčania. Preto sila musí pôsobiť nahor.

Ďalšie skladanie síl - pozri otázku 1. Dynamika

** **

dvojica síl

Pokiaľ na teleso pôsobia dve rovnako veľké sily opačnej orientácie - F a F ', potom je nemôžeme nahradiť jedinou silou. Tieto sily majú len otáčavý účinok, ktorý je vyjadrený momentom D dvojice síl. Rameno dvojica síl d je vzdialenosť vektorových priamok oboch síl.

Veľkosť momentu dvojice síl je rovná súčinu veľkosti jednej sily a ramena dvojice,

D = F × d (d = 2 r)

Moment D dvojice síl je kolmý k rovine, v ktorej leží sily, a jeho smer určíme pomocou pravidla pravej ruky.

Dvojica pôsobí napr. Pri uťahovaní skrutky alebo pri otáčaní volantom, a to aj keď ním točíme len jednou rukou - ruka spolu s volantom pôsobí na čap volantu, ktorý vyvolá reakciu pôsobiace na volant. Dvojicu potom tvoria sila, ktorou pôsobí ruka na volant, a reakcia, ktorú na volant pôsobí čap.

Rovnako ako sa sily skladajú, jedna sila sa môže rozložiť na viac síl. Pri tom platí to, že keby sme chceli rozložené sily opäť zložiť vo výslednicu, budú opäť platiť obe rovnice, tj. Skladanie síl a momentová veta.

Ťažisko tuhého telesa

= Pôsobisko tiažovej sily pôsobiace na teleso v homogénnom tiažovom poli ****

určenie: podopieranie, zavesovanie, výpočet

Ak je teleso zavesené, po ustálení možno určiť ťažnicu - je to priamka, ktorá spája ťažisko telesa a bod závesu. Ťažisko T potom je priesečníkom všetkých ťažníc.

Pokiaľ je teleso rovnorodé (homogénne = má všade rovnakú hustotu) - stred, os a rovina symetrie, na všetkých troch leží ťažisko (v strede súmernosti)

Ťažisko môže byť aj mimo teleso (podkova, prstenec, duté telesá).

U heterogénnych alebo geometricky nepravidelných telies sa ťažisko hľadá experimentálne (zavesením telesa v takom bode, aby sa ustálilo).

Rovnovážna poloha tuhého telesa

Zavesené alebo podopreté teleso je v rovnovážnej polohe, ak zvislá ťažnice prechádza bodom závesu alebo podporným bodom a teleso je v pokoji.

Podmienky rovnováhy:

Silová rovnováha - výslednica všetkých síl je nulová

F = F ₁ + F ₂ + ... + F _n = 0

Momentová rovnováha - výsledný moment všetkých síl je nulový, tzn. platí momentová veta

M = M ₁ + M ₂ + ... + M _n = 0

Teleso môže mať rovnovážnu polohu (znázornené na guličke a na zavesenom kvádra):

a) stálu (stabilný)

• po vychýlenie z tejto polohy sa do nej teleso opäť vracia

• napr. Gulička v guľové miske, teleso otáčavé okolo osi nad ťažiskom

• ťažisko telesa je v tejto polohe najnižšie Þ najnižšej potenciálnej energie; vychýlenie → zvýšenie E _p

b) vratkú (labilné)

• po vychýlenie z tejto polohy sa do nej teleso už nevracia, snaží sa zaujať rovnovážnu polohu

stálu

• napr. Sisyfův balvan - grécke báje - Sizyfos vytlačil balvan na kopec - hore poloha vratká, skotúľal sa na druhú stranu; teleso otáčavé okolo osi pod ťažiskom

• v tejto polohe je ťažisko telesa najvyššie nad zemou Þ potenciálna energia je najvyššia; vychýlenie → zníženie E _p

c) voľnú (indiferentný)

• po vychýlenie z tejto polohy zostáva v novej polohe, je opäť v rovnovážnej polohe

• napr. Gulička na vodorovnej podložke, teleso otáčavé okolo osi v ťažisku

• výška ťažiska sa ani pri vychýlení nemení Þ potenciálna energia je konštantná; vychýlenie → rovnaké E _p

Teleso podopreté na ploche je v stále rovnovážnej polohe, ak zvislá ťažnice prechádza podstavou telesa. (Na obrázku ťažisko telesa vystúpi do novej výšky h2)

Stabilita telesa je miera schopnosti udržiavať rovnovážnu polohu stálu. Je to práca, ktorú musíme vykonať, aby sme teleso dostali z rovnovážnej polohy stálej do rovnovážnej polohy vratké.

W = m × g × (h ₂ - h ₁₎... gv tabuľkách ako K

Stabilita je tým väčšia, čím nižšie je ťažisko v stálej rovnovážnej polohe.

Kinetická energia tuhého telesa

1. Pri posuvnom pohybe majú všetky body telesa v danom okamihu rovnakú rýchlosť. Preto nemusíme kinetickú energiu určovať ako súčet kinetických energií všetkých bodov telesa

,

ale môžeme ju vypočítať pre celú hmotnosť telesa

,

kde m = m ₁ + m ₂ + ... + m _n. Kinetická energia telesa s hmotnosťou m, ktoré sa pohybuje posuvným pohybom rýchlosťou v, je rovná kinetickej energii hmotného bodu s rovnakou hmotnosťou a rovnakou rýchlosťou.

2. Pri otáčavom pohybe tuhého telesa okolo nehybnej osi opisujú body telesa kružnice, ktorých stredy ležia na osi otáčania. Uhlová rýchlosť ω je pre všetky body rovnaká, rýchlosti jednotlivých bodov sú priamo úmerné polomerom kružníc, po ktorých sa pohybujú =>

v ₁ = ω × r _1, v ₂ = ω × r _2,... v _n = ω × r _n.

Kinetickú energiu telesa určíme opäť ako súčet kinetických energií jednotlivých bodov

Pri otáčaní tuhého telesa okolo nehybnej osi závisí jeho kinetická energia na uhlovej rýchlosti otáčania; na hmotnostiach jednotlivých bodov a na ich vzdialenostiach od osi otáčania => na rozloženie látky v tuhom telese.

moment zotrvačnosti I = vyjadruje rozloženie látky telesa vzhľadom k osi. Vyplýva z hmotnosti a tvaru a charakterizuje schopnosť telesa udržiavať otáčavý pohyb.

kde m _1, m _2,... m _n sú hmotnosti jednotlivých bodov, z ktorých sa teleso skladá ar _1, r _2,... r _n sú vzdialenosti bodov od osi.

[I] = kg × m ²

Moment zotrvačnosti je pre rôzne tvary telies rôzny (zľava - obruč alebo dutý valec, plný valec, guľa).

Najväčší moment zotrvačnosti má teleso, ktoré má hmotu sústredenie čo najďalej od osi - využitie zotrvačníky. Roztočené zotrvačníky majú veľkú kinetickú energiu, osi zotrvačníkov s veľkou uhlovou rýchlosťou udržujú smer a na zmenu ich smeru je potreba veľký moment sily. Zotrvačníky sa využívajú pri motoroch, kde udržujú rovnomerný chod, udržiavanie osi otáčania sa využíva pri umelých horizontov lietadiel.

Pri otáčaní tuhého telesa pôsobí jednotlivé body telesa na os zotrvačnými silami.

voľná os - os otáčania prechádza ťažiskom, zotrvačné sily všetkých bodov sa navzájom zrušia a na os nepôsobí žiadna sila. Uchytenie vo voľnej osi má nesmierny praktický význam. Keby napríklad kolesá automobilov nebola uchytená vo voľnej osi, ich uchytenie by bolo nesmierne namáhané a koleso by raz uletelo. Preto sa v pneuservisoch vyvažujú.

Ak vykonáva teleso súčasne posuvný aj otáčavý pohyb okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, je jeho kinetická energia

kde m je hmotnosť telesa (umiestnená v ťažisku), v veľkosť rýchlosti ťažiska telesa, J ₀ moment zotrvačnosti okolo osi otáčania idúce ťažiskom telesa, ω rýchlosť otáčania okolo tejto osi.