Pojednanie o chaose

Pod pojmom chaos si väčšina ľudí predstaví niečo úplne neusporiadaného a neorganizovaného či amorfného. Avšak nie je chaos ako chaos. Tento text pojednáva o deterministický chaosu. Rovnako, ako v minulom oddielu vyjdem z definície z prvej kapitoly - stav, keď jednoduchý systém má zložité, ale deterministické správanie. Čo k tomu potrebujeme? Stačí iba tri nelineárne diferenciálne rovnice. O tom sa presvedčil už Lorenz, keď jeho model počasie práve o troch rovniciach bol tak nepredvídateľný, že jeho kolegovia uzatvárali stávky, čo urobí nabudúce. Keď je to tak jednoduché, tak prečo sa na to neprišlo už skôr? Ono sa na to prišlo (Lorenzov objav bol vlastne náhodný), ale vedci zaoberajúci sa chaosom museli prekonať mnoho ťažkostí - ich závery si odporovali s vtedajším fyzikálnym vnímaním sveta, naznačovali obmedzenie snahy človeka ovládnuť prírodu, a tiež de facto ustanovili hranicu pre počítače. Ďalej tu bol ešte jeden problém - pre matematiky boli ich teórie moc fyzikálne a pre fyziky naopak moc abstraktné. Napriek tomu sa tieto ťažkosti podarilo prekonať. Spočiatku vedci o sebe nevedeli, ale napriek tomu sa ich znalosti rozširovali závratným tempom.

Stephen Smale z kalifornskej univerzity v Berkley sa zaoberal fázovým priestorom. Presnejšie povedané zaoberal sa topologickým transformáciami útvarov, ale sústredil sa na celý priestor. Pokúšal sa ho rôzne ohýbať az toho vznikla Smaleova podkova: priestor je v jednom mieste pretiahnutý a v druhom stlačený. Potom sa priestor zloží. Vznikne útvar podobný podkove. V transformáciách pokračujeme, a to tak, že "urezať" nohy podkovy a predstavíme si ich ako nový fázový priestor. Hoci je Smaleova podkova príliš matematický objekt a fyzike reálneho sveta má ďaleko, prispel k lepšiemu pochopeniu pohybu. Smale dúfal, že takto možno vysvetliť všetky dynamické systémy, teda len pomocou zmršťovanie, ohýbanie a naťahovanie. Ukázalo sa ale, že prehýbanie je potrebné a nesie sebou drastické zmeny dynamického správania. Podobný spôsob práce s fázovým priestorom si zvolil HENON. Tento astronóm sa zaoberal modelovaním obežnej dráhy hviezd. Namiesto toho, aby opisovali úhľadné elipsy, získavajú ich obežnej dráhy trojdimenzionálny charakter. Ťažko zakresliť na dvojrozmerný papier trojrozmernú dráhu, a tak HENON použil podobnú metódu ako Poincarého vytváranie máp. Predstavil si plochou rovinu na jednom konci galaxie tak, aby jej každá obežná dráhy pretínala a potom zaznamenal bod, kde k pretnutia došlo. Sprvu sa body objavovali akoby náhodne, ale po vynesení desiatok bodov sa začínala objavovať vajcovitá krivka. Tieto dráhy sa síce neuzatvárajú, ale zďaleka nie sú chaotické a dajú sa veľmi dobre predvídať. Keby skončili u tohto, tak by táto pasáž nemala čo robiť na tomto mieste. Ale ... So svojím diplomantov Carlom Heilesem prišli na niečo neočakávané. Keď postupne zvyšovali hladinu energie, najprv sa dráhy rozvetvovala do zložitejších slučiek. Pri ďalšom zväčšovaním energetickej hladiny niektoré body síce tvorili pravidelnú krivku (či sa dala odhadnúť), iné sa ukázali ako prejavy úplného chaosu. Bol to unikátny pohľad na prechodné štádium medzi poriadkom a chaosom. Po pätnásťročnej prestávke sa HENON k problému opäť vrátil. Sústredil sa len na geometrickou podstatu veci, a preto vymenil diferenciálne rovnice zo diferenčné, nezávislé na čase. Na papier si nakreslil ovál a postupne ho naťahoval a prekladal. Tu máme Smaleův princíp podkovy. Pre transformácia si vybral dve jednoduché rovnice - X = y + 1-1,4x ^2; Y = 0,3x. Takto jednoduchý výpočet možno vykonávať aj na kalkulačke, ale počítač je predsa len rýchlejší. HENON vyniesol na grafický displej 5 miliónov bodov a čo nevidel: najprv body naskakovali akoby náhodne, ale potom sa zdalo, že časť krivky má hrúbku. To bol tiež len prechodný jav, tu sa krivka rozdelila na dve, štyri časti atď. Tento útvar je známy ako Hénonův atraktor. Vyznačuje sa nekonečnouregresí, čiže ho stále môžeme zväčšovať bez toho aby sa zmenila jeho štruktúra. Inými slovami, je to fraktál.

Ďalší príklad bude tiež z astronómie, hoci s transformáciami fázového priestoru nemá nič spoločné. Týka sa pýchy Jupitera, jeho veľké červené škvrny. Oddávna ľudia vymýšľali teórie, čo by to mohlo byť. Objavovali sa také tézy ako že je to nový, práve sa oddeľujúce mesiac, veľké teleso (pevné!), Plávajúce v Jupiterovej atmosfére atd ... Vďaka sonde Voyager vieme, že je to obrovský uragán. Namiesto toho, aby jehomise odpovedala všetky otázky, priniesla veľa nových. Ako sa môže udržať pohromade, keď okolo vznikajú a zanikajú menšie viery. Marcus, jeden z pracovníkov NASA, dlho študoval snímky škvrny. Nakoniec dospel k záveru, že škvrna má autonómnu organizáciu a že je riadená pomocou rovnakej nelinearity ako ostatné viery. Je to stabilný chaos. Škvrna pripomína ďalšiu záhadu. Tou je turbulencie.

turbulencie

Turbulencie je niečo ako svätý grál fyziky. Zaoberali sa jej snáď všetci slávni fyzici ao jej nepochopiteľnosť svedčí výrok Werner Karl Heisenberg na smrteľnej posteli: "Na Boha budem mať dve otázky: prečo relativita a prečo turbulencie. Naozaj si myslím, že by na prvú otázku mohol mať odpoveď." Fyzika mala do sedemdesiatych rokov teóriu turbulencie. Jej autorom bol ruský fyzik Lev D. Landau. Podľa tejto teórie si môžeme turbulenciu predstaviť ako mnoho navzájom nesúhlasných rytmov. Najprv sa má objaviť jeden, ale so zvyšujúcou sa rýchlosťou by mali pribúdať ďalšie. Nikto ju nedokázal experimentálne potvrdiť a tiež sa podľa nej nedalo nič spočítať. Napriek tomu s ňou fyzici mlčky súhlasili. V roku 1973 sa ju pokúsili potvrdiť bádatelia Swiney a Gollub. Napriek tomu že pracovali v malej laboratóriu s ešte menším objemom peňazí, vytvorili zariadenie veľkosti plechovky na tenisové loptičky. Malo tvar valca, vnútri ktorého sa otáčal ďalší valec. Ako postupne zvyšovali rotačné energiu, objavila sa prvý frekvencie. S ďalším zvyšovaním energie by sa mali objavovať ďalšie a ďalšie rytmy a mali by vytvoriť onú zložitú turbulenciu. Až do tej doby bola Landauova teória platná. Ako ďalej zvyšovali rýchlosť, nedokázali rozlíšiť ďalšie frekvencie - miesto postupne sa objavujúcich frekvenciou nastal chaos. Landauova teória je teda chybná. Swiney a Gollub však nedokázali vytvoriť správnu teóriu turbulencie. Odlišný experiment vykonal napríklad Libchaber. Ten experimentoval s kvapalným héliom - uzavrel ho v jednej nádobe a tú zdola mierne zahrieval. Akonáhle rozdiel teplôt dosiahol určité hodnoty, kvapalina začala prúdiť. Keď dve písadlá ovládaná teplotnými sondami zakreslovala graf, ukázalo sa, že čírou náhodou išlo o rovnaké prúdenie, aké svojimi rovnicami vyjadril Lorenz. Libchaber zistil ešte zložitejšie štruktúru než si dokázal predstaviť. Zistil v grafe mnoho bifurkácie. Nešlo vôbec predpovedať, čo sa stane nabudúce. Vari je všetko tak neusporiadané? Áno, ale ... Keď Feigenbaum študoval bifurkácia, vybral si zdanlivo jednoduchú rovnicu: x = r. (Xx ^2). Táto rovnica je známa ako populačnej funkcie. Keď vytkne x, dostaneme x = rx (1-x). Parameter r predstavuje rýchlosť rastu ax je počet jedincov vyjadrený ako podiel súčasného stavu a maximálneho stavu. Napríklad pre r = 2.4 a počiatočná x = 0.5 dostaneme 0,6; 0,576; 0,586; 0,582; 0,583; 0,583 ... Systém sa dostal do rovnováhy. Keď ale parameter inkrementuje, zrazu sa stane, že systém začne oscilovať. napríklad keď r zmeníme na 3,5 a počiatočné x ponecháme, tak dostaneme 0,875; 0,383; 0,827; 0,501; 0,875; 0,383; 0,827; 0,501 ... Systém nám začína oscilovať. Tomu sa hovorí bifurkácie. Keď parameter ďalej zvyšujeme, dostaneme nie 4, ale 8, potom 16 ... bifurkácie. pre dostatočne veľký parameter je graf chaotický - hoci sa by sa perióda mala stále zdvojovať, môžeme v grafe pozorovať aj periódu tri .. To už pred Fiegenbaumem zistil May. Fiegenbaum sa snažil na svojom kalkulátora zistiť, kedy presne nastáva rozštiepeniu. Tempo výpočtu bolo pomalé, a tak si krátil čas hádaním budúceho výsledku. V jednej chvíli pochopil, že hádať nemusí. Systém skrýval neočakávanú pravidelnosť - zdvojenie prichádzala stále rýchlejšie, ale konštantným zrýchlením, vyjadreným číslom 4,669. To už by sám o sebe mohol byť objav, ale Feigenbaum skúmal ešte rovnicu xt + 1 = r.sin (xt). Zdvojenie nastávala presne tým istým zrýchlením - zložitejšie a odlišná funkcie vykazoval rovnakú pravidelnosť ako jej jednoduchšie sestra! To nedokázala vysvetliť žiadna známa matematická či fyzikálne teórie. Do budúceho dňa získal číslo s lepšou presnosťou - jeho hodnota je približne 4,669201090. Tento objav vošiel do dejín pod názvom univerzalita.

Ak si chcete vyrobiť vlastný chaotický systém, tak vedzte, že systém s jedným kyvadlom a tromi magnety na podložke je veľmi citlivý na počiatočné podmienky. Z určitých oblastí síce končí vždy pri jednom magnetu, ale sú tiež oblasti, kde sa to nadá dopredu presne povedať.

Myslím, že tieto riadky musia všetky pochybovačov presvedčiť o tom, že teória chaosu je úžasná vec. Hoci pri jednotlivých odsekov chýba pointa, načrtli niečo o skrytých vlastnostiach prírody. Teraz ale z iného súdka. Aký je vlastne vzťah pojmov fraktál - chaos? Takže - fraktál je obrázok vzniknutý vďaka nejaké rovnicu či ich sústave (alebo i náhodne). Chaos je označenie pre správanie systému. Ďalej všetky podivné atraktory sú fraktály, ale nie všetky fraktály sú atraktory.

Pojednanie o atraktor

Čo to je vlastne atraktor? Podľa definície z prvej kapitoly je to konečný stav systému. To nie je moc zaujímavá veta a je ťažké si podľa nej niečo predstaviť. Atraktor môžeme našťastie ľahko zobraziť na grafe, teda ak nemá systém viac ako tri rozmery. Tu by som rád zaviedol pojem fázový priestor. Pre pohyb hmotného bodu si vystačíme s tromi súradnicami a ak pridáme aj všetky 3 zložky vektora jeho rýchlosti dostaneme 6 súradníc - fázový priestor. Problém nastane vtedy, keď chceme správania (napr. Pohyb) systému, ktorý sa nedá definovať pomocou jedného hmotného bodu - pohyb pružných, kvapalných telies nemožno jednoducho zanášať do grafu, ale matematicky sa správanie týchto systémov dá v princípe zvládnuť.

V prvej kapitole v odseku pojmy je tiež uvedené veľmi hrubé delenie atraktorov. Začnime bodom. Napríklad fyzikálne kyvadlo (podliehajúci trenie) sa postupne zastavuje a keď sa úplne zastaví, dosiahne svoj atraktor. Tu sa situácia zjednodušuje tým, že kyvadlo je de facto hmotný bod. Ako môžeme zobraziť jeho správanie? Napríklad máme dvojrozmerný graf, os x predstavuje čas, a na os y nanášame aktuálne výchylku. Spočiatku dostaneme graf podobný funkciu cos, ale s postupujúcim časom sa krivka vyhladzuje, až sa z nej stane priamka - kyvadlo sa zastavilo. Môžeme ešte pridať tretí priestor - aktuálna rýchlosť kyvadla - a som pri fázového priestoru. Alebo to môžeme urobiť inak - ignorujeme čas a na graf vykresľujú len aktuálne výchylku a aktuálnu rýchlosť. Pre nebrzdenou kyvadlo sa nám vykreslí kružnice a pre brzdené špirála - atraktorom je bod uprostred. Nemusíme dokonca ani kresliť graf - stačí kyvadlo v podobe deravé nádoby s pieskom. Ten sa stále vysypáva a kde je kôpka najväčší, tam je atraktor (za predpokladu, že sa kyvadlo zastaví skôr, než dôjde piesok). Výhoda tohto spôsobu je v tom, že sa kyvadlo môže kývať v dvoch rozmeroch - teda nielen tam a späť, ale zase nevidíme názorne aktuálnu rýchlosť kyvadla. Kyvadlo možno opísať pomerne jednoduchými deterministickým vzorcami a tak nás ani neprekvapí jednoduchosť atraktor. Niektoré systémy sa neuspokojí z bodom, ale s cyklicky sa opakujúci krivkou. Trebárs matematické kyvadlo. Jeho atraktorom je v grafe naznačenom vyššie funkcie cos. Lepším príkladom sú planéty. Podmienka cyklu je však splnená len vtedy, keď nehmotný bod obieha okolo hmotného bodu - planéty majú zanedbateľnú hmotnosť. Ich atraktor je obyčajná elipsa. V skutočnosti to nie je úplne presné (planéty si Slnka trošičku priťahujú a tým porušujú uzavretú elipsu), ale ak nevysielajú medziplanetárnej sondu, tak to stačí (tiež sme zanedbali zakrivenie priestoru ...). Podobný atraktor má aj mlynské koleso. Práve na ňom si vyznačíme bod a ak stále priteká voda, jeho atraktorom je kruh. Vráťme sa ale späť do vesmíru. Ako je dobre známe, väčšina hviezd sú vlastne dvojhviezdy. Predpovedať polohu planéty v Slnečnej sústave je triviálne, ale čo u dvojhviezdy? To je poriadny oriešok. Predstavte si ale inú situáciu. Tri porovnateľne hmotná telesa. To je tiež poriadny oriešok. Tento je však nerozlousknutelný, lebo koncom predminulého storočia H. Poincaré dokázal, že analytické riešenie neexistuje! Nie je teda možné žiadnym aspoň trochu presným spôsobom predpovedať správanie troch blízkych hviezd! Pre podobný úkaz ale nemusíme lietať do vzdialeného vesmíru. V páse asteroidov medzi Marsom a Jupiterom obieha skupina troch veľkých asteroidov, ktoré sa volajú Trojan. Tu je situácia ešte komplikovaná prítomnosťou menších telies a prachu. Aký je teda atraktor tejto sústavy? Žiadny? Nie, ale je naozaj čudný. To chápte ako pojem, nie ako prirovnanie. Jednotlivé body sa na grafe môžu objavovať zdanlivo náhodne a vytvoria nekonečnú krivku (nikde sa nepretína) - podivný atraktor. To že neexistuje analytické riešenie by mohlo zvádzať k domnienke, že túto sústavu nemožno vyjadriť rovnicami. To síce možno, ale miera vzájomného ovplyvňovania je veľmi vysoká (čo je vyjadrené značnou nelinearitou sústavy). Preto je systém extrémne nestabilný aj pri malej zmene počiatočných podmienok. Teraz sa vráťme k vodnému kolesu. Mierne si ho ale upravíme.

Vodné koleso nebude mať lopatky, ale na jeho obvode bude pripevnené niekoľko deravých nádob - voda do nich zo zhora pritečie, ale bude stále odtekať. Týmto problémom sa v päťdesiatych rokoch minulého storočia zaoberal Edvard Lorenz. Správanie tohto systému vyjadril niekoľkých málo lineárnymi rovnicami, teda ktoré sa nijako výrazne neovplyvňovali. Lorenz očakával, že sa koleso bude točiť buď stále jedným smerom, alebo cyklicky smery meniť a alebo že voda bude rýchlo odtekať a koleso sa zastaví celkom. A ajhľa, on neurobil ani jedno ani druhé. Hoci je tento systém vyjadrený jednoduchými lineárnymi rovnicami, vykazuje extrémne nestabilné správanie, ktoré sa mimochodom nedá predpovedať. Lorenz na svojom počítači zobrazil graf pohybu kolesa a dostal naozaj podivnú 3D mapu:

Tento podivný atraktor sa stal symbolom všetkých podivných atraktorov a teórie chaosu a nájdete ho snáď v každej chaotické knihe.