Pojmy
atraktor
Zjednodušene sa dá povedať, že je to konečný stav systému. Napríklad
pre reálne kyvadlo platí, že atraktorom je stav, keď kyvadlo nemá
kinetickú energiu a potenciálnej energie je najmenší, teda kedy sa prestane
hojdať. Naproti tomu atraktorom pohybu planéty (Zem) je uzavretá elipsa.
Niektoré systémy majú podivný atraktor, vykazujú chaotické správanie.
Všetky chaotické atraktory sú fraktály.
Rozoznávame teda tri druhy atraktorov:
- bodové
- Cyklické (kruh, osmička ...)
- Podivné (nekonečné)
Bifurkácia
Extrémna nestabilita systému, keď jedna situácia má dve zväčšujúcou riešenia.
Cantrorovo diskontinuum (mračno)
Najjednoduchšie IFS fraktál. Konštruuje sa na základe priamky.
pozri IFS fraktály
Dimenzie
De facto udáva, do koľkých na seba komých smerov sa môžete v danom priestore vydať. Rozlišujeme topologickú, fraktálne dimenziu.
Euklidovská geometria
To, že je to základná geometria, asi všetci viete. Je definovaná na nezakrivenú priestoru (D> = 0). Popisuje len tzv. Geometricky hladké útvary (bod, priamka, štvorec, kocky, gule ...). Je vhodná pre schematické úlohy, nie je schopná prEN popísať reálny svet.
Fraktál
Matematická definícia tohto pojmu zatiaľ neexistuje. Najbližšie skutočnosti je zrejme definícia B. Mandelbrot:
"Fraktál je taký útvar, ktorého Hausdorfova dimenzia je väčšia ako dimenzia topologické."
To znamená, že fraktál nemá ako kocky 3, či ako priamka 1 rozmer, ale jeho dimenzia je neceločíselné. To nemusí platiť vždy, např.Hilbertovy či Peanova krivky vypĺňajú celú rovinu. Mimo Mandelbrot definícia existuje aj tzv. Všeobecné definície:
"Fraktál je taký útvar, pri ktorého zväčšení dostaneme opäť rovnaký obraz, bez ohľadu na mierku"
Pre doplnenie, vlastnosť opísaná v tejto definícii sa nazýva invariancie voči zmene merítka.
Fraktálne dimenzie = Hausdorff dimenzie
D H (Matematická reprezentácia) de facto udáva "fraktálnost" daného objektu. Spočíta sa takto: Dĺžka obvodu fraktálu K = Nie D, mierka s = 1 / N. Ak dosadíme za K = 1, potom môžeme vyjadriť D H = log (N) / log (1 / s).
Fraktálne geometrie
Geometria zaoberajúce sa nekonečne členitými (prírodnými) útvary.
Geometricky hladké útvary
Euklidovská geometria popisuje len geometricky hladké útvary. Sú to teda notoricky známa telesá ako kváder, guľa ... Tieto útvary majú niekoľko vlastností (povrch, objem) ktoré sú deterministicky spočítateľná.
Chaos (determinstický)
Schopnosť jednoduchých systémov bez zabudovaných náhodných prvkov vykazovať vysoko nepredvídateľné a neusporiadané správanie. Nespráva sa však náhodne. Nemôžeme síce zistiť bez výpočtu stav systému v budúcnosti, ale pre rovnaké počiatočné parametre sa systém správa rovnako. Avšak aj nepatrná zmena parametrov (iný počet desatinných miest) môže ale tiež nemusí znamenať úplne odlišné správanie.
viz. pojednanie o chaose
IFS
Iteračné funkčné systémy. Ide o skupinu fraktálov, či o metódu ich konštrukcie. Na počiatočný bod iteratívne aplikujeme afinní transformácie. Po dostatočnom (nekonečnom) počtu iterácií dostaneme vytúžený fraktál.
viz. IFS
Kochova krivka
Jedná sa o IFS fraktál. Počiatočný bod predstavuje priamka. Tú rozdelíme na tri časti, druhú vyberieme. Vzniknuté medzery "zastrešíme rovnostranným trojuholníka.
L-Systémy
Skupina fraktálov, používaná pri výskume přírody.Vznikají z počiatočného nefraktálního symbolu na základe generátora.
viz. L-Systémy
Mandelbrotova množina (mset)
Polynóm fraktál (TEA). Vzniká na základe rovnice z = z 2 + c, kde zic sú komplexné čísla, c je pozícia bodu az je iterovaného premenná (dá sa povedať odkladacie, temp Premeny). Mset tvorí akýsi katalóg Juliových množín. Jej význam je čisto estetický
viz. M-Set
Nekonečne členité útvary
Pre ľahšie pochopenie vyjdeme z problému skúmanie dĺžky ostrova. Vo veľkom meradle sa nám javí ako nejaké menšie číslo. So zväčšujúcim sa meradlom (do výpočtu zahŕňame stále nové a nové detaily) sa dĺžka zväčšuje a pri dokonalej presnosti dosiahne nekonečna. Nekonečne členitý útvar teda zaberá v priestore (rovine) trochu viac miesta, než hladké útvary je "kostrbata" a nekonečne dlhý (pre viacrozmerné nekonečne objemný)
Sierpinski trojuholník
Klasický IFS fraktál. Počiatočný bod je trojuholník a iteratívne z jeho stredu vyberáme jeho štvrtinu. Ďalšia možnosť konštrukcia sa nazýva chaotická hra.
pozri IFS
Soběpodobnost
Ktorákoľvek časť fraktálu je presnou kópiou pôvodného motívu. Vyskytuje sa len u čisto matematických štruktúr, pretože jednak sme v prírode obmedzení veľkosťou častíc (niektoré sa zdajú byť nedeliteľné) a ďalej ťažko v prírode vznikne takto dokonalý fraktál.
Soběpříbuznost
Je to určité zovšeobecnenie soběpodobnosti. Ktorákoľvek časť fraktálu je veľmi podobná, ale nie úplne zhodná s pôvodným motívom
TEA
Skupina fraktálov. Tie vznikajú na základe jedného polynómu (rovnica). Ich význam je predovšetkým estetický či sa dajú využiť pre skúmanie vlastností tej konkrétnej rovnice. Pre výskum reálneho sveta nemajú praktický význam.
Topologické dimenzie
De facto udáva, koľkých dimenzionálnej je daný útvar. To môžeme zistiť podľa počtu súradníc nutných na presné určenie bodu, ktorý patrí analyzovaným objektu. pre bod platí, že D = 0, priamku, akúkoľvek krivku (teda aj pre klbko špagátu-krivka v 3D priestore) D = 1, štvorec, kruh, ľubovoľné polygóny, dokonca aj pre guľovú plochu (povrch gule) D = 2 atď. pre hranicu M-Set platí, že D = 1, jedná sa totiž o krivku (nezamieňať s D H).
